2014年伊朗国家队选拔赛第18题

中心为III的非等腰三角形△ABC\triangle ABC△ABC的内切圆在DDD处与边BCBCBC相切. 设XXX是从三角形ABCABCABC的外接圆开始的弧BCBCBC上的一个点, 这样, 如果EEE,FFF与BIBIBI,CICICI上的XXX垂直, 并且MMM是EFEFEF的中点, 则MBMCMBMCMBMC. 证明∠BAD∠CAX\angle{BAD}\angle{CAX}∠BAD∠CAX. (2014年伊朗国家队选拔赛第18题)证明:只需证明d(E′,B)d(F′d(E, B)d(Fd(E′,B)d(F′,C)C)C),E′EE′,F′FF′分别为EEE,FFF在BCBCBC边上的投影.即BXcos⁡∠EBXcos⁡∠IBCCXcos⁡∠FCXcos⁡∠ICBBX \cos \angle EBX \cos\angle IBCCX \cos \angle FCX \cos \angle ICBBXcos∠EBXcos∠IBCCXcos∠FCXcos∠ICB.即sin⁡∠XCBcos⁡∠EBXcos⁡∠IBCsin⁡∠XBCcos⁡∠FCXcos⁡∠ICB\sin \angle XCB \cos \angle EBX \cos\angle IBC\sin \angle XBC \cos \angle FCX \cos \angle ICBsin∠XCBcos∠EBXcos∠IBCsin∠XBCcos∠FCXcos∠ICB.即cos⁡(B/2)/cos⁡(C/2)sin⁡∠XBC/sin⁡∠XCB⋅cos⁡∠FCX/cos⁡∠EBX\cos (B/2)/ \cos (C/2)\sin \angle XBC/\sin \angle XCB \cdot \cos \angle FCX/\cos \angle EBXcos(B/2)/cos(C/2)sin∠XBC/sin∠XCB⋅cos∠FCX/cos∠EBX设BXCBXCBXC的角平分线交(ABC)(ABC)(ABC)于NNN, 设∠BAC\angle BAC∠BAC内的旁切圆心为点JaJ_aJa​.由内心旁心的一则常用性质,NNN,XXX,JaJ_aJa​三线共点.III,BBB,JaJ_aJa​,CCC共圆,IB⊥JaBIB \bot J_aBIB⊥Ja​B,IC⊥JaCIC \bot J_aCIC⊥Ja​C.cos⁡∠EBXsin⁡∠XBJa\cos \angle EBX\sin \angle XBJ_acos∠EBXsin∠XBJa​cos⁡∠FCXsin⁡∠XCJa\cos \angle FCX \sin \angle XCJ_acos∠FCXsin∠XCJa​由角元形式的塞瓦定理可得:sin⁡∠XBC/sin⁡∠XCB⋅cos⁡∠FCX/cos⁡∠EBXsin⁡∠XJaC/sin⁡∠XJaB\sin \angle XBC/\sin \angle XCB \cdot \cos \angle FCX/\cos \angle EBX\sin \angle XJ_aC/\sin \angle XJ_aBsin∠XBC/sin∠XCB⋅cos∠FCX/cos∠EBXsin∠XJa​C/sin∠XJa​B由面积法,sin⁡∠XJaC/sin⁡∠XJaBNB/NC⋅CJa/BJasin⁡∠CBJa/sin⁡∠BCJacos⁡(B/2)/cos⁡(C/2)\sin \angle XJ_aC/\sin \angle XJ_aBNB/NC \cdot CJ_a/BJ_a\sin \angle CBJ_a/\sin \angle BCJ_a\cos (B/2)/ \cos (C/2)sin∠XJa​C/sin∠XJa​BNB/NC⋅CJa​/BJa​sin∠CBJa​/sin∠BCJa​cos(B/2)/cos(C/2).证毕.