信号与系统（三）：数字相敏检波算法

三角函数的正交性用一句话说就是在一个完整周期内任意两个不同频率的三角函数正弦或余弦相乘后积分结果都为 0只有相同的两个函数相乘积分才不是 0。把它想象成“函数世界里的垂直”就像互相垂直的坐标轴我们可以用这组“轴”去分解任何周期波形。最重要的几条结论在区间 [-\pi,\pi] 上· 不同频率的正弦、余弦彼此正交\int_{-\pi}^{\pi} \sin nx \sin mx ,dx 0 \quad (n \neq m)\int_{-\pi}^{\pi} \cos nx \cos mx ,dx 0 \quad (n \neq m)\int_{-\pi}^{\pi} \sin nx \cos mx ,dx 0 \quad (\text{任意 } m,n)· 相同函数的积分不为零\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 nx ,dx \pi,\quad \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 nx ,dx \pi,\quad \int_{-\pi}^{\pi} 1^2,dx 2\pi这个性质正是傅里叶级数能把任何周期信号拆成一系列简谐波叠加的数学根基。数字相敏检波本质上就是数字正交解调。它用软件算法替代模拟乘法器和滤波器从强噪声中提取已知频率信号的幅度和相位。它的核心思想是用一个与待测信号同频的本地参考信号去“比对”输入只让同频同相的分量通过噪声因频率不匹配而被滤除。## 1. 数学原理设输入信号含噪声为[x(t) A \cos(\omega t \varphi) n(t)]目的是求出 (A) 和 (\varphi)。产生两路本地参考信号同频、正交- 同相参考(r_I(t) \cos(\omega t))- 正交参考(r_Q(t) \sin(\omega t))### 第一步混频乘法[I(t) x(t) \cdot \cos(\omega t) \frac{A}{2}\cos\varphi \frac{A}{2}\cos(2\omega t \varphi) n(t)\cos(\omega t)][Q(t) x(t) \cdot \sin(\omega t) -\frac{A}{2}\sin\varphi \frac{A}{2}\sin(2\omega t \varphi) n(t)\sin(\omega t)]可以看到乘积包含直流分量携带幅度/相位信息和二倍频分量(2\omega)以及噪声调制项。第二步低通滤波用截止频率远低于 (2\omega) 的数字低通滤波器滤除二倍频和大部分噪声。滤后得到[I_{out} \frac{A}{2}\cos\varphi, \qquad Q_{out} -\frac{A}{2}\sin\varphi]若使用 (\sin) 作 (r_Q) 且符号习惯不同有时写成 (A/2 \sin\varphi)最终按反正切处理即可。### 第三步幅度和相位提取[A 2\sqrt{I_{out}^2 Q_{out}^2}, \qquad \varphi \arctan2(-Q_{out}, I_{out})]注意这里 (\arctan2) 的符号取决于前面定义的 (Q) 通道符号只要一致就能还原真实相位。—## 2. 算法实现步骤### 1. 信号同步采样- 以采样率 (f_s) 对 (x(t)) 进行 A/D 采样得 (x[n])。- 采样率需满足采样定理且通常希望参考信号频率与采样率成整数倍关系整周期采样以避免频谱泄漏。### 2. 生成本地参考序列产生与待测频率 (f) 相同的数字正弦/余弦序列[r_I[n] \cos(2\pi f \cdot n / f_s), \quad r_Q[n] \sin(2\pi f \cdot n / f_s)]### 3. 逐点混频[I[n] x[n] \cdot r_I[n], \quad Q[n] x[n] \cdot r_Q[n]]### 4. 数字低通滤波-最简单的平均滤波对整周期(N) 点的 (I[n])、(Q[n]) 求算术平均直接得到直流分量。这相当于矩形窗 FIR 滤波等效噪声带宽为 (f_s/N)。-高阶 FIR/IIR 滤波器需要更陡的滚降和更快的动态响应时采用例如多级抽取滤波CIC补偿 FIR这在数字锁相放大器中极常见。### 5. 计算幅值与相位[I_{dc} \text{LPF}(I[n]), \quad Q_{dc} \text{LPF}(Q[n])][A 2\sqrt{I_{dc}^2 Q_{dc}^2}, \quad \varphi \arctan2(Q_{dc}, I_{dc})]注意系数 2 需根据滤波器增益和参考幅度校准。工程中常通过标定修正。