CTF中RSA大素数分解实战：从原理到Python工具实现

1. 项目概述当RSA遇上CTF大素数分解为何成为“夺旗”关键在网络安全竞赛CTF的密码学赛道上RSA加密算法的挑战题几乎场场必现。对于很多刚入门的朋友来说看到题目给了一堆n、e、c模数、公钥指数、密文就发懵感觉无从下手。其实这类题目的核心攻击路径往往非常明确就是想方设法分解那个巨大的模数n。一旦成功分解出n p * q中的两个大素数p和q整个RSA的防线就土崩瓦解私钥唾手可得密文c也能被轻松解密为明文mflag自然就出来了。这个项目我们就聚焦于这个最核心、最经典的攻击场景已知公钥对(n, e)和密文c如何通过分解n来破解RSA。我不会空谈理论而是直接手把手带你用Python从零开始搭建一个能够实战的RSA分解工具包。我们会涵盖从最基础的暴力试除到针对特殊情况的Pollards rho算法再到利用现代库的强大功能如pycryptodome、sympy进行高效分解。更重要的是我会分享大量在真实CTF比赛中踩过的坑和积累的经验比如如何判断n是否可分解、遇到超大n怎么办、哪些工具链最靠谱以及如何写出既高效又健壮的解题代码。无论你是CTF新手还是有一定基础但想在密码学上更进一步的玩家这篇指南都将为你提供一套清晰的、可复现的“作战流程”。你会发现搞定RSA大素数分解并没有想象中那么遥不可及。2. 核心思路与攻击模型解析为什么我们能分解n在动手写代码之前我们必须彻底理解RSA的安全基石和它的“阿喀琉斯之踵”。RSA的安全性建立在“大整数分解难题”之上给定一个由两个大素数p和q相乘得到的合数n在有限时间内计算出p和q是极其困难的。然而这个“困难”是有前提的一旦这些前提被破坏分解就会变得容易。2.1 RSA加密解密流程回顾与攻击入口首先快速回顾一下RSA密钥生成和加解密过程这能帮助我们精准定位攻击点密钥生成随机选择两个大素数p和q。计算模数n p * q。计算欧拉函数φ(n) (p-1)*(q-1)。选择一个公钥指数e通常为65537满足1 e φ(n)且gcd(e, φ(n)) 1。计算私钥指数d满足d * e ≡ 1 (mod φ(n))。公钥为(n, e)私钥为(p, q, d)或(n, d)。加密对于明文m需转换为整数且m n计算密文c ≡ m^e (mod n)。解密使用私钥d计算明文m ≡ c^d (mod n)。在CTF题目中我们通常被直接给予公钥(n, e)和密文c。我们的终极目标是从c还原出m。而解密的唯一途径是获得私钥d。获得d又需要知道φ(n)而计算φ(n)必须知道p和q。于是整个攻击链的起点就清晰地指向了分解模数n。2.2 常见可分解的n类型与对应攻击策略不是所有n都坚不可摧。出题人往往会故意设置一些“脆弱”的n来考察选手对RSA弱点的理解。以下是几种典型情况n过小这是最简单的情况。如果n只有几十位或一百多位十进制数那么直接用暴力试除或者调用强大的因子分解库如sympy的factorint可能在几秒内就能解决。这在入门题中很常见。p和q过于接近如果两个素数p和q大小非常接近那么它们的平均数(pq)/2与sqrt(n)也很接近。我们可以从sqrt(n)开始向两边搜索很快就能找到它们。这就是费马分解法的原理。p或q过小如果其中一个素数很小比如只有几十位那么用试除法遍历所有小素数就能很快找到它。Pollard‘s rho算法对小因子尤其高效。n具有某种特殊结构例如n可能是一个“光滑数”即它的所有质因子都很小或者p-1、q-1是光滑数这会导致n容易通过Pollard‘s p-1算法被分解。有时n甚至可能是两个相同素数的乘积或者可以被表示为其他简单形式。共模攻击、低加密指数攻击等这些攻击不直接分解n但同样是重要的解题思路。例如如果相同的n被用于加密多条消息使用不同的e就可能发生共模攻击。如果e非常小如3且明文m也很小可能直接开e次方就能得到m。我们的工具包也需要考虑这些情况。核心心法拿到一道RSA题第一步永远不是埋头写代码而是仔细观察n、e、c以及任何题目给出的额外信息。尝试用factordb.com这样的在线数据库查询n是否已被分解。分析n的位数尝试费马分解、Pollard‘s rho等算法。查看e的大小思考是否存在低加密指数攻击。这些分析将直接决定你采用哪种攻击路径避免在错误的方向上浪费时间。3. Python环境搭建与核心工具库选型工欲善其事必先利其器。一个配置得当的Python环境是高效解题的基础。这里我推荐使用conda或venv创建独立的虚拟环境避免包版本冲突。3.1 基础环境与必备库安装首先确保你安装了Python 3.7及以上版本。然后我们通过pip安装几个核心库# 强烈建议在虚拟环境中操作 pip install pycryptodome sympy gmpy2pycryptodome这是PyCrypto库的维护分支功能强大且稳定。它提供了完整的RSA对象、大数运算和丰富的密码学工具。注意安装时名字是pycryptodome但导入时使用Crypto。from Crypto.Util.number import long_to_bytes, bytes_to_long, inverse, GCD from Crypto.PublicKey import RSAsympy一个强大的数学符号计算库。它的factorint函数对于分解中小规模的n通常200位以下非常有用并且内置了Pollard‘s rho等算法。from sympy import factorint, isprime, nextprimegmpy2这是Python的一个多精度算术库底层基于GMPGNU Multiple Precision Arithmetic Library。它在处理极大整数的运算如模幂、求逆、开方时速度比Python原生整数运算快几个数量级。在CTF中处理2048位甚至更大的RSA时gmpy2几乎是性能瓶颈的救星。import gmpy2 from gmpy2 import mpz, powmod, invert, isqrt, gcd3.2 工具函数准备编码转换与基础计算在开始分解之前我们需要一些辅助函数来处理CTF中常见的数据格式转换。import base64 from Crypto.Util.number import long_to_bytes, bytes_to_long def parse_rsa_components(public_key_fileNone, n_hexNone, e_hexNone): 从文件或直接参数中解析RSA公钥的n和e。 支持PEM格式文件或直接的十六进制字符串。 if public_key_file: with open(public_key_file, r) as f: key_data f.read() # 尝试解析PEM格式 key RSA.import_key(key_data) n, e key.n, key.e else: if not n_hex or not e_hex: raise ValueError(请提供n和e的十六进制字符串) n int(n_hex, 16) e int(e_hex, 16) return n, e def decode_ciphertext(ciphertext, formathex): 将密文从各种格式hex, base64, decimal解码为整数。 if format hex: c int(ciphertext, 16) elif format base64: c bytes_to_long(base64.b64decode(ciphertext)) elif format decimal: c int(ciphertext) else: raise ValueError(f不支持的格式: {format}) return c def recover_flag(m): 将解密得到的整数m转换为flag。 尝试多种编码常见的有long_to_bytes后直接解码为字符串 或者可能嵌入了其他结构。 data long_to_bytes(m) # 尝试直接解码为UTF-8 try: flag data.decode(utf-8) if flag in flag or { in flag: return flag except: pass # 如果不是纯文本可能包含不可见字符返回hex或raw bytes表示 return data.hex() # 或者直接 return data这些函数构成了我们解题脚本的“基础设施”。在实际比赛中题目给出的n、e、c可能藏在代码注释里、图片元数据中或者需要你从网络流量里提取但最终它们都会被转化为整数进行计算。4. 实战分解算法详解与Python代码实现现在我们进入最核心的部分如何用Python实现各种分解算法。我将按照从简单到复杂从通用到特殊的顺序来讲解。4.1 方法一利用factordb等在线资源侦察兵在尝试任何复杂的计算之前先问问互联网。factordb.com是一个收录了大量整数分解结果的数据库。对于CTF中常见的、来自历史题目或测试用例的n很可能已经被收录。我们可以写一个简单的函数来自动化查询import requests def factor_via_factordb(n): 通过factordb API尝试分解n。 成功则返回因子列表失败返回None。 try: url fhttp://factordb.com/api?query{n} response requests.get(url, timeout10) data response.json() if data[status] FF: # Fully Factored factors data[factors] # 解析返回的因子列表例如 [[“123”, 1], [“456”, 1]] result [] for factor, exp in factors: result.append(int(factor)) return result else: print(fFactorDB状态: {data[status]} 未完全分解) return None except Exception as e: print(f查询FactorDB失败: {e}) return None # 使用示例 n 0x7266397... # 你的n factors factor_via_factordb(n) if factors and len(factors) 2: p, q factors print(f成功分解: p{p}, q{q})避坑指南网络请求有超时和失败的风险。永远不要在关键的唯一解题路径上完全依赖在线查询。它应该作为第一步的快速侦察。另外注意factordb的API可能有访问频率限制。4.2 方法二sympy.factorint瑞士军刀对于本地可分解的n比如位数小于200sympy.factorint是最简单粗暴的选择。它内部集成了试除法、Pollard‘s rho、Pollard‘s p-1等多种算法并会自动选择。from sympy import factorint def factor_with_sympy(n): 使用sympy的factorint函数分解n。 适用于中小规模的n。 try: factors_dict factorint(n) # 返回字典如 {p1: exp1, p2: exp2} factors list(factors_dict.keys()) if len(factors) 2 and factors_dict[factors[0]] 1 and factors_dict[factors[1]] 1: p, q factors[0], factors[1] return p, q else: print(f分解结果不是两个单次素数: {factors_dict}) return None except Exception as e: print(fsympy分解失败: {e}) return None # 使用示例 n 1234567890123456789012345678901234567890 # 一个较小的n result factor_with_sympy(n) if result: p, q result print(f分解成功: p{p}, q{q})性能与局限factorint对于随机生成的、200位以上的安全素数通常无能为力会运行很长时间。它适合解决“非安全”的n或者作为其他算法失败后的兜底尝试。4.3 方法三试除法与Pollard‘s rho算法经典组合当n有一个较小的质因子时Pollard‘s rho算法效率很高。我们来实现它并搭配简单的试除法用于寻找非常小的因子。import random from math import isqrt, gcd def trial_division(n, limit1000000): 试除法寻找小因子。 limit: 试除的上限通常设为sqrt(n)或一个固定值。 if n % 2 0: return 2 # 从3开始步长为2只检查奇数 d 3 while d * d n and d limit: if n % d 0: return d d 2 return None def pollard_rho(n, max_iterations100000): Pollard‘s rho算法寻找n的一个非平凡因子。 如果n是素数或算法失败返回None。 if n % 2 0: return 2 if isprime(n): # 需要先判断素数可以用sympy.isprime或Miller-Rabin return None x_fixed 2 cycle_size 2 x 2 factor 1 for _ in range(max_iterations): for _ in range(cycle_size): if factor 1: x (x * x 1) % n factor gcd(abs(x - x_fixed), n) if factor ! 1: break cycle_size * 2 x_fixed x if factor n: # 失败 return None return factor def factor_combined(n): 组合策略先试除小因子再用Pollard‘s rho。 # 1. 试除小因子 small_factor trial_division(n) if small_factor: other_factor n // small_factor return small_factor, other_factor # 2. Pollard‘s rho factor1 pollard_rho(n) if factor1 and factor1 ! n and factor1 ! 1: factor2 n // factor1 return factor1, factor2 # 3. 如果还不行可以尝试sympy或放弃 print(组合方法未能分解n。) return NonePollard‘s rho算法原理简述它基于“生日悖论”和“弗洛伊德判圈算法”。我们用一个多项式如f(x) x^2 1迭代生成一个伪随机序列x_i。由于模n运算下序列最终会进入循环如果n有一个因子p那么在模p的意义下序列会更快进入循环。通过计算gcd(|x_i - x_j|, n)如果结果不是1或n那它就是n的一个非平凡因子。这个算法对于有较小因子的合数非常有效。4.4 方法四费马分解法针对p、q接近的情况如果p和q非常接近那么n可以近似看作一个完全平方数。设p a - b,q a b则n a^2 - b^2。a略大于sqrt(n)b是一个小整数。我们从a isqrt(n) 1开始尝试检查a^2 - n是否为完全平方数。from gmpy2 import isqrt, mpz def fermat_factorization(n): 费马分解法适用于p和q接近的情况。 使用gmpy2提升大数运算性能。 n mpz(n) a isqrt(n) 1 b2 a * a - n while True: b isqrt(b2) if b * b b2: # b2是完全平方数 p a - b q a b if p * q n: return int(p), int(q) # 继续尝试下一个a a 1 b2 a * a - n # 设置一个上限避免无限循环。如果p和q相差很大这个方法会非常慢。 if a - isqrt(n) 1000000: # 例如尝试100万次后放弃 return None # 使用示例 n mpz(0xce... ) # 一个p和q接近的n result fermat_factorization(n)实操心得费马分解法的效率完全取决于|p-q|的大小。如果p和q的位数相同且高位相同那么b很小算法几步就能成功。在CTF题目中如果发现n的开平方根结果非常“整”或者题目提示“两个素数很接近”就应该优先尝试这个方法。4.5 方法五使用pycryptodome的RSA对象集成化处理pycryptodome库的RSA模块不仅用于生成密钥和加解密其RSA.construct方法在已知(n, e, d)或(n, e, p, q)的情况下可以构建RSA对象。虽然它不直接提供分解功能但我们可以利用它来验证分解结果并进行解密。from Crypto.PublicKey import RSA from Crypto.Util.number import inverse, long_to_bytes def decrypt_after_factorization(n, e, c, p, q): 在成功分解n得到p和q后计算私钥并解密密文。 # 1. 计算φ(n)和私钥d phi (p - 1) * (q - 1) d inverse(e, phi) # 使用Crypto.Util.number.inverse求模逆 # 2. 使用gmpy2加速解密对于大数至关重要 # 注意gmpy2的powmod比Python的pow快得多 import gmpy2 m gmpy2.powmod(c, d, n) # m c^d mod n # 3. 将整数明文转换为字节 flag long_to_bytes(int(m)) return flag # 更“面向对象”的做法 def decrypt_with_rsa_object(n, e, c, p, q): 使用RSA.construct构建密钥对象进行解密。 from Crypto.PublicKey import RSA from Crypto.Util.number import long_to_bytes # 构建私钥对象 private_key RSA.construct((n, e, inverse(e, (p-1)*(q-1)), p, q)) # 解密。注意RSA解密标准是PKCS#1 v1.5但CTF中常直接计算模幂。 # 这里我们直接使用私钥的 _decrypt 方法或自己计算。 # 更通用的方法是使用构建的密钥进行解密操作如果格式标准 # 但CTF中密文c常是裸的整数所以我们更常用上面的powmod方法。 # 以下演示如何用密钥对象解密一个符合PKCS#1填充的密文如果c是字节串 # flag private_key.decrypt(c) # 对于整数c我们还是用powmod: d private_key.d m pow(c, d, n) return long_to_bytes(m)这个函数是我们整个攻击链条的最后一环也是收获成果的一步。将分解得到的p、q与已知的n、e、c结合最终计算出flag。5. 完整实战案例与代码整合让我们通过一个模拟的完整CTF题目将上述所有模块串联起来。假设题目文件challenge.py内容如下# challenge.py from Crypto.Util.number import getPrime, bytes_to_long, long_to_bytes import base64 flag bflag{this_is_a_test_flag_for_rsa_factorization} m bytes_to_long(flag) # 生成两个接近的素数为了演示费马分解 p getPrime(256) # 让q非常接近p q p 2**20 # q比p大一点 while not isPrime(q): # 假设有isPrime函数 q 2 n p * q e 65537 c pow(m, e, n) print(fn {hex(n)}) print(fe {hex(e)}) print(fc {hex(c)})我们的解题脚本solve.py# solve.py import requests from sympy import factorint, isprime from Crypto.Util.number import long_to_bytes, inverse import gmpy2 from gmpy2 import mpz, isqrt, powmod # ---------- 题目数据 ---------- n_hex 0x8da...实际输出的n e_hex 0x10001 c_hex 0x1a2...实际输出的c n int(n_hex, 16) e int(e_hex, 16) c int(c_hex, 16) print(f[*] 目标 n {n}) print(f[*] 公钥 e {e}) print(f[*] 密文 c {c}) # ---------- 第1步尝试在线查询 ---------- print(\n[1] 尝试查询FactorDB...) def try_factordb(n): # ... 省略factordb查询函数实现见上文 ... pass factors try_factordb(n) if factors and len(factors) 2: p, q factors print(f [] 成功p {p}, q {q}) else: print( [-] FactorDB未收录或未完全分解。) # ---------- 第2步本地算法尝试 ---------- if p not in locals(): print(\n[2] 开始本地分解尝试...) # 2.1 尝试sympy (针对中小n) print( [2.1] 尝试sympy.factorint...) factors_dict factorint(n, verboseFalse) if len(factors_dict) 2: p, q list(factors_dict.keys()) print(f [] sympy分解成功p {p}, q {q}) else: print( [-] sympy无法快速分解。) # 2.2 尝试费马分解 (针对p,q接近) if p not in locals(): print( [2.2] 尝试费马分解法...) def fermat_factor(n): n mpz(n) a isqrt(n) 1 b2 a*a - n count 0 max_tries 100000 while count max_tries: b isqrt(b2) if b*b b2: p a - b q a b return int(p), int(q) a 1 b2 a*a - n count 1 return None result fermat_factor(n) if result: p, q result print(f [] 费马分解成功p {p}, q {q}) else: print( [-] 费马分解失败p和q可能不接近。) # 2.3 尝试Pollard‘s rho (针对有小因子的n) if p not in locals(): print( [2.3] 尝试Pollard‘s rho算法...) # ... 省略Pollard‘s rho实现见上文 ... pass # 实际脚本中这里应调用函数 # ---------- 第3步解密 ---------- if p in locals() and q in locals(): print(f\n[3] 分解成功开始解密。) print(f p {p}) print(f q {q}) # 验证分解结果 if mpz(p) * mpz(q) ! mpz(n): print( [-] 错误p * q ! n) exit() # 计算私钥d phi (p - 1) * (q - 1) d inverse(e, phi) # 使用gmpy2加速解密 m powmod(mpz(c), mpz(d), mpz(n)) flag long_to_bytes(int(m)) print(f\n[] 解密成功Flag为) print(f {flag}) else: print(\n[-] 未能分解n请尝试其他方法如Pollard‘s p-1, Williams‘ p1或检查题目是否有其他提示如泄露部分p/q。)这个脚本展示了一个完整的、有层次的攻击流程。在实际比赛中你可能需要根据题目的具体提示例如“p和q很接近”、“p是光滑的”来调整尝试算法的优先级。6. 进阶场景、常见问题与避坑指南即使掌握了基本分解方法实战中还是会遇到各种“坑”。这一部分分享一些进阶场景的处理经验和常见错误的排查方法。6.1 当n极大时如2048位以上怎么办对于现代安全强度的RSA2048位及以上用普通计算机在有限时间内直接分解是不可行的。CTF题目如果给出这样的n几乎一定存在其他漏洞而不是让你暴力分解。你需要寻找部分密钥泄露题目可能给出了p或q的高位或低位比特、d的一部分、或者dpd mod (p-1)等。加密或填充不当例如相同的消息用不同的e加密共模攻击或者e很小且明文也很小低加密指数广播攻击、Coppersmith攻击。侧信道或错误注入题目描述可能模拟了某种故障导致你可以利用错误结果来恢复密钥。策略永远先分析n的位数。如果它是2048位或更大立刻停止尝试通用分解算法转而仔细审题寻找非分解的突破口。6.2 解密出来的明文是乱码怎么办成功分解并解密得到整数m后long_to_bytes(m)可能输出一堆乱码。这有几个可能编码问题flag可能不是UTF-8文本。尝试其他编码如latin-1或者直接输出hex(m)看看是不是十六进制格式的flag。填充问题真实的RSA加密通常会对明文进行填充如PKCS#1 v1.5或OAEP。但CTF中为了简化经常使用“裸”RSA即直接对m进行模幂运算。如果你得到的c是标准的PKCS#1填充密文则需要用Crypto库的PKCS1_OAEP或PKCS1_v1_5解密器。但题目通常会说明是“裸”加密。需要进一步处理m可能是一个结构化的数据需要进一步解析。例如它可能是一个ASN.1编码或者里面嵌套了另一个加密。查看hex(m)的输出如果看到规律的0x00分隔或常见的文件头如PK表示zip就需要相应处理。你解错了最根本的原因可能是分解错误或者e和φ(n)不互素导致无法求逆。务必验证pow(pow(123, e, n), d, n) 123来测试你的(n, e, d)是否能正确加解密一个测试数字。6.3 工具函数inverse或powmod报错inverse(e, phi)报错提示“ehas no inverse modulophi”。这说明你提供的e和φ(n)不互素无法计算私钥d。这通常意味着你的p和q分解是错误的或者题目本身就不是标准的RSA比如e和φ(n)有公因子这在CTF中有时是考点需要使用其他方法如AMM算法。powmod(c, d, n)速度极慢或内存溢出对于大数2048位Python原生的pow(c, d, n)虽然可用但较慢。务必使用gmpy2.powmod(mpz(c), mpz(d), mpz(n))速度有百倍以上的提升。如果不用gmpy2解密一个大密文可能需要几分钟甚至更久。6.4 我写的Pollard‘s rho或费马分解陷入了死循环这是算法实现中的常见问题。Pollard‘s rho需要设置最大迭代次数。如果n是一个素数或者没有小因子算法可能永远找不到因子。务必添加一个迭代上限并在函数开始时用快速素性测试如gmpy2.is_prime或sympy.isprime排除n是素数的情况。费马分解如果p和q相差很大b会很大循环次数将接近于(p-q)/2这是不可接受的。必须设置尝试次数的上限比如100万次超过后就放弃说明此n不适用于该方法。6.5 除了分解还有哪些常见RSA攻击套路在CTF中RSA的考点远不止分解。建立一个完整的RSA解题思维框架很重要检查n是否可分解本文重点用小因子算法、factordb、yafu等工具。检查e是否很小e3或e17等且明文m很小m^e n可直接对c开e次方。相同的m用不同的n和相同的e加密低加密指数广播攻击可使用中国剩余定理CRT求解。检查是否共用n相同的n不同的e加密不同消息可能发生共模攻击利用扩展欧几里得算法恢复明文。检查是否有部分密钥泄露给出了p或q的高位/低位、d的低位、dp等通常使用Coppersmith定理在多项式时间内恢复完整密钥。这需要用到sage一个基于Python的数学软件或其Python库。检查填充如果涉及填充Oracle服务器会告诉你解密后的填充是否正确可能是Padding Oracle攻击。维纳攻击当私钥d很小时满足d (1/3) * n^(1/4)可以通过连分数展开来攻击。给你的建议是为每一种常见攻击模式都准备一个模板脚本。比如共模攻击、低加密指数广播攻击、维纳攻击的脚本都可以预先写好。遇到题目时像查清单一样快速过一遍这些可能性。7. 高效工具链与资源推荐“君子性非异也善假于物也。” 除了自己写Python脚本善用外部工具能极大提升解题效率。本地分解神器yafuyafuYet Another Factorization Utility是一个功能强大的整数分解程序尤其擅长数域筛法NFS等高级算法。对于200位到400位左右的“中等”nyafu往往比纯Python脚本快得多。使用方法通常将n十进制保存到文件num.txt然后运行yafu-x64.exe “factor()” -batchfile num.txt。在CTF比赛中如果题目给的n在250位左右丢给yafu跑一会儿说不定就有惊喜。数学计算全能王SageMathSageMath是一个集成了众多数学软件如GMP, PARI/GP, Maxima的开源数学系统。它对于Coppersmith攻击、格基规约LLL算法等高级密码学攻击有极好的支持。很多需要部分密钥恢复的RSA题最终都要在Sage环境中解决。学习资源在CTF Wiki上搜索“RSA”和“Coppersmith”你会找到大量使用Sage的例题和脚本。在线工具箱RsaCtfToolRsaCtfToolhttps://github.com/RsaCtfTool/RsaCtfTool是一个用Python编写的、集成了几十种RSA攻击方法的自动化工具。你只需要提供n, e, c以及任何可能的额外信息如泄露的p高位它就会自动尝试所有可能的攻击方式包括本文提到的以及更多高级方法。它非常适合在不确定攻击路径时进行“地毯式”尝试。社区与题库CTF Wiki(https://ctf-wiki.org/)中文密码学板块RSA部分总结得非常全面从基础到高级攻击都有。CryptoHack(https://cryptohack.org/)一个交互式密码学学习平台其RSA板块的题目由易到难是绝佳的练习场。攻防世界、BUUCTF等平台包含大量历年CTF真题可以针对性练习。最后也是最重要的心得多动手多复现。看懂算法和写出能解决实际问题的代码之间有一道鸿沟。找一些过去的CTF题目尝试用本文的脚本框架去求解遇到错误就调试遇到不懂的就查。当你成功独立解出十几道不同类型的RSA题后你会发现它不再是拦路虎而是一个稳定的得分点。密码学的学习曲线虽然陡峭但每一步突破带来的成就感也是巨大的。祝你在CTF赛场上屡战屡胜。