向量可以理解为一个有方向的量。

📅 2026/7/3 3:37:06 👁️ 次浏览

生活中很多东西都可以用向量描述比如速度你开车 60 km/h 向东️ 风风速 5 m/s 向北力用 10 牛顿的力推箱子向右坐标表示在数学里我们通常用坐标来表示向量而在几何空间中常常用箭头来表示向量箭头的长度表示大小模方向表示向量的方向。在二维空间中一个向量表示如下→v(x,y)其中 x 表示水平方向分量y 表示竖直方向分量。向量的模长为|→v|√x2y2在三维空间中一个向量表示如下→v(x,y,z)其中 x, y, z 分别是沿三个坐标轴的分量。向量的模长为|→v|√x2y2z2在N维空间中一个向量表示如下→v(x1,x2..xn)其中 x1...xn 分别是各个维度的分量。向量的模长为|→v|√x21x22⋯x2n二、加减法向量加法设定→a(x1,y1),→b(x2,y2)那么有→a→b(x1x2,y1y2)加法的几何意义可以使用三角形法则或平行四边形法则来说明简单的可以理解为→a→b 就是从坐标原点沿着→a行进后再沿着→b行进。应用示例假定有两股方向的力如下→F1(3,4),→F2(1,2)那么这两股力的合力为→F→F1→F2(31,42)(4,6)向量减法设定→a(x1,y1),→b(x2,y2)那么有→a−→b(x1−x2,y1−y2)加法的几何意义可以使用三角形法则或平行四边形法则来说明简单的可以理解为→a−→b 就是从b的终点开始朝着→a的终点行进的向量。应用示例在船的航行过程中可以利用向量的减法来获得船和水流的相对速度。假定船的速度向量为→v船(8,0)(向东 8 m/s)水流速度向量为→v水(3,1)(向东 3 m/s向北 1 m/s)那么船相对水流的速度向量为→v相对(8−3,0−1)(5,−1)表示向东 5 m/s、向南 1 m/s。三、向量内积向量的内积又称为点积Dot Product内积是两个向量对应分量相乘后求和的一个标量值。设定→a(x1,y1),→b(x2,y2)那么有→a⋅→bx1x2y1y2从几何意义上讲向量的内积还可以表示如下→a⋅→b|→a||→b|cosθ具体的证明可以参考下图将坐标系进行旋转后可完成推理其中 ⁡θ 表示两个向量的夹角根据余弦定理可以得出假定模长不变夹角越小内积则越大当夹角为90度时两个向量垂直此时内积为0内积的本质等同于向量的投影和模长的乘积坐标旋转时内积保持不变应用示例我们在电商平台上浏览产品详情时经常会看到相似产品这样的页签其中会给我们推荐相关的产品。这种商品推荐的场景便可以基于余弦相似度来实现余弦相似度的核心是仅考虑向量的方向一致忽略模长的影响。具体实现如下将商品信息特征化表述包括类目品牌价格区间颜色 / 尺寸 / 材质商品标题/描述图片特征特征向量归一化上述的商品特征可以基于Embedding、CNN等算法来提取为特征值。这些特征值拼接后形成一个统一的商品向量如下→g[x类目,x品牌,x价格,x尺寸,x颜色,x图谱特征..]由于不同维度的特征值其模长无法统一我们需要将其进行归一化L2归一对于其中的 xk其归一后的值为Xkxk√x21x22⋯x2nL2归一化使用欧几里得范数来计算最终得到特征向量为→G[X类目,X品牌,X价格,X尺寸,X颜色,X图谱特征..]归一化后∥G∥1余弦相似度就简化成两个单位向量的点积只比较方向特征分布模式消除了特征值大小的影响。计算商品特征向量的相似度获得最相似的N个商品通过计算向量的点积来比较相似度simulaty→G⋅→G2向量点积在机器学习中常用于评估特征的方向相似性四、向量外积向量的外积又称为叉积Cross Product两个向量的外积是一个同时垂直于两者的向量。设定→a(x1,y1),→b(x2,y2)那么有→a×→b→c向量 →c的模长→c∣→a∣∣→b∣sinθ在几何意义上等同与两个向量为边的平行四边形的面积。向量 →c的方向垂直于两个向量构成的平面。如下图所示向量 →c的方向除了垂直之外还需要遵循右手螺旋定则也就是对于 →a×→b→c 来说右手四指方向从 a 转向 b大拇指所指方向就是 c 的方向。所以 →a×→b 和 →b×→a 的结果是相反的即向量外积不满足交换律。

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