理解数学概念——稠密性(density)

目录1. 定义2. 等价定义3. 直观理解1. 定义在拓扑学(topology)和数学相关领域中对于一个拓扑空间X的一个子集A若X的每一个点要么属于A要么无限“接近”A的某个成员则称这个子集A是稠密的(dense)或称A具有稠密性(density)。换言之X的每一个点都可以被其子集A中的点等同或很好地逼近。例如比率数集(rational numbers)是实数(real numbers)的稠密子集因为每一个实数要么是一个比率数要么是一个无限接近比率数的数。正式地讲若X的包含A的最小闭子集是X自身则A是稠密的。2. 等价定义对于一个拓扑空间X的一个子集A若满足下列等价条件中任意一个则称A是X的一个稠密子集(1)若X的包含A的最小闭子集是X自身。(2)A在X中的闭包等于X。(3)A的补集之内部是空。(4)X中的每一个点要么属于A要么是A的一个极限点。(5)对于每一个x∈Ax的每一个邻域都与A相交。(6)A与X的每一个非空开子集相交。若ℬ是X上拓扑之开集的一个基则这个等价条件可以扩展以包括(7)对于每一个x∈Ax的每一个基本 (basic)邻域B∈ℬ与A相交。(8)A与每一个非空的邻域B∈ℬ相交。3. 直观理解以实数轴为例在实数轴的任意位置切割必有一实数存在这体现了实数轴的连续性确保了实数轴的完备性。而对于实数轴上的任意开区间无论其如何地小它总含有一个或多个比率数(rational numbers)这体现了比率数的稠密性。