最优美公式-欧拉公式，轻松理解版

摘要本文从火柴人数学视频切入讲解自然常数e的增长极限、虚数i²-1的几何意义并用麦克劳林级数推导欧拉公式。Alan Becker创作的火柴人大战数学的打斗视频风靡一时并在 B站荣耀斩获了“金知奖”。下面是网友对此视频的部分评价截图。视频原址火柴人 vs 数学后续又一口气看完了“火柴人 vs 几何”与“火柴人 vs 物理”通过火柴人的方式表现还是停新鲜的作者别具一格。这些视频里都或深或浅的穿插着一些数学与物理的知识总是想写些什么但都是被这样或那样的原因给耽搁了。今天下定决心试着解读一下其中的欧拉公式理解公式是为了更好地摆脱公式。贴一个“百度百科”的评价它是数学里最令人着迷的一个公式它将数学里最重要的几个数字联系到了一起两个超越数自然对数的底e圆周率π两个单位虚数单位i自然数的单位1以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。下面准备从三个方面入手尽我所能的做到通俗易懂的讲述欧拉公式是怎么来的它又有什么用1、小e的前世今生小e 是一个数学中非常重要的常数它与自然对数的底数相同约为 2.718。它最初由数学家约翰·纳皮尔在研究复利时发现可以表示连续复利的极限情况。小e 与圆周率π 均为超越数它们的性质独特且重要。对于 π我们可以通过古老的割圆术来直观地理解其含义。π(C πd→π C/d) 表示任意一个圆的周长与其直径之间的比率这是所有圆共有的一个基本比率。小e 则代表了所有持续增长过程所共有的基本增长率。​阮一峰翻译的文章《数学常数e的含义》说的很好这里摘录如下某种类的一群单细胞生物每 24小时全部分裂一次。在不考虑死亡与变异等情况下那么很显然这群单细胞生物的总数量每天都会增加一倍。据此我们可以写出它的增量公式growth 2x (x 表示天数)。这个式子可以改写成growth (1100%)*x 其中1 表示原有数量100% 表示单位时间内24小时的增长率。根据细胞生物学每过 12个小时也就是分裂进行到一半的时候平均会新产生一半原数量的新细胞新产生的细胞在之后的 12小时内已经在分裂了。因此一天 24个小时可以分成两个阶段每一个阶段的细胞数量都在前一个阶段的基础上增长 50%列出数学表达式​亦即​即在一个单位时间内这些细胞的数量一共可以增至为原数量的 2.25倍。倘若这种细胞每过 8小时就可以产生平均 1/3 的新细胞新生细胞立即具备独立分裂的能力那就可以将 1天分成 3个阶段在一天内时间细胞的总数会增至​即最后细胞数扩大为原数量的 2.37倍。实际上这种分裂现象是不间断、连续的每分每秒产生的新细胞都会立即和母体一样继续分裂一个单位时间24小时最多可以得到多少个细胞呢答案是​当增长率为 100% 保持不变时在单位时间内细胞种群最多只能扩大 2.718……倍。数学家把这个数就称为 e它的含义是单位时间内持续的翻倍增长所能达到的极限值。所以小e 的极限形式的数学表达式如下图关于小e 更为详尽的内容譬如著名的72定律、斐波那契螺线等请移步数学-e的自然之美。2、为什么i² -1引用一下以前我的一个知乎回答数学中的数先是从一维数轴开始。图2.1 一维数轴因电路的阻抗计算中若幅值与相角同时用一个式子表示也就是说数已经移动至二维空间或者说只能在二维空间中才能很好的表示这个数。比如下图中的 C 表示为 -25i它的模值为即阻抗的幅值OB 与 x轴的夹角θ 即阻抗的相角。在电路的计算中用j来代替i因为i在电路中表示电流以示区分。图2.2 二维数轴复数最重要的性质就是是旋转量即两个复数积的辐角等于各自辐角的和详情移步数学的精美。-1 位于实轴负半轴辐角为 π(180°)。开平方按照前面说的辐角的性质即是辐角减半变为 π/2(90°)也即虚轴正半轴上的i的位置。或者反过来看一个复数乘以i就相当于逆时针旋转 π/2(90°)。那么i² 1*i*i就是把 1 旋转了 2次π/2(90°)正好落在 -1 上。3、欧拉公式的由来函数​的n阶麦克劳林公式分别如下麦克劳林公式来自微积分基础1-微分篇之8、泰勒Taylor公式及其应用​这样我们就可以手算的值了或许C语言标准函数库的三角函数就是这样计算的个人臆测哈但实际上我们可以这么操作取得近似值达到工程的要求即可。#include math.h其中的麦克劳林公式和泰勒Taylor公式相关有一个原函数公式 再造一个图像与原函数图像相似的多项式函数公式 为了保证相似只需要保证两个函数在某一点的初始值相等、1阶导数相等、2阶导数相等、……并且 n阶导数都相等。这里我们令​另外前面说过从而得到简化一下​当时即可得到最令人着迷的最优美的上帝创造的公式——欧拉公式式①的共轭复数为利用三角函数的性质数学-三角函数及其图像三角函数 cos(θ) 和 sin(θ) 具有偶函数和奇函数的性质那么、。将这些性质代入式①的共轭复数我们得到联立式①与式②可以得到下面两个变换的式子4、欧拉公式的用途那么这么优美的公式又有啥用途呢1“信号与系统”在频域分析和信号处理中就需要用到用它将信号从时域转换到频域或者从频域转换到时域。2在交流电路分析中欧拉公式用于将正弦电流和电压表示为复数形式从而简化了电路的分析和计算。3在量子力学中欧拉公式有助于理解和计算波函数网上看来的。欧拉公式在数学、物理、工程等多个领域都有着广泛的应用它是连接实数与复数、三角函数与指数函数的重要桥梁。5、欧拉的生平欧拉晚年的时候欧洲所有的数学家都把他当作老师下面摘录自“百度百科”莱昂哈德·欧拉Leonhard Euler 1707年4月15 日1783年9月18 日瑞士数学家13岁进巴塞尔大学读书得到著名数学家贝努利的精心指导。欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家他从 19岁开始发表论文直到 76岁他那不倦的一生共写下了 886本书籍和论文其中在世时发表了 700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作整整用了 47年。如若喜欢这篇文章不妨留下您宝贵的点赞这将是对我莫大的鼓励。