[数电] 第1章：数制与编码

重点及难点进位计数制常用数制之间的转换原码、反码、补码的概念及相互转换BCD 码概念8421 BCD 码1-1 数制及其相互转换数码由数字符号构成且表示物理量大小的数字和数字组合。进位计数制简称数制多位数码中每一位的构成方法以及从低位到高位的进制规则。了解进位计数制的两个概念进位基数和数位的权值位权。一种进位计数制包含着基数和位权两个基本的因素基数R 进制(base)指计数制中所用到的数字符号的个数。在基数为 R 计数制中包含0、1、…、R-1共R个数字符号进位规律是 “逢R进一 ”。称为R进位计数制简称R进制。位权(相应位的数)(weight):R进制数的位权是R的整数次幂是指在一种进位计数制表示的数中用来表明不同数位上数值大小的一个固定常数。不同数位有不同的位权某一个数位的数值等于这一位的数字符号乘上与该位对应的位权。并列表示法(N)Ran-1an-2…a2a1…a-1a-2…a-m多项式表示法 (按权展开)( N ) R a n − 1 R n − 1 a n − 2 R n − 2 ⋯ ⋅ a 2 R 2 a 1 R 1 a 0 R 0 a − 1 R − 1 a − 2 R − 2 ⋯ a − m R − m ∑ i − m n − 1 a i R i \begin{aligned} (N)_R a_{n-1}R^{n-1} a_{n-2}R^{n-2} \cdots \cdot a_2 R^2 a_1 R^1 a_0 R^0 \\ \quad a_{-1}R^{-1} a_{-2}R^{-2} \cdots a_{-m} R^{-m} \\ \sum_{i-m}^{n-1} a_i R^i \end{aligned}(N)R​​an−1​Rn−1an−2​Rn−2⋯⋅a2​R2a1​R1a0​R0a−1​R−1a−2​R−2⋯a−m​R−mi−m∑n−1​ai​Ri​R进制特点有0、1、…、R-1共R个数字符号逢R进一位权是R的整数次幂第i位的权为R i R^iRi(-m≤i≤n-1)常用的进位计数制十进制数字符号0、1、2、3、4、5、6、7、8、9计数规则逢十进一基数10各位的权值为10 i 10^i10ii是各数位的序号。( 368.258 ) 10 3 × 10 2 6 × 10 1 8 × 10 0 2 × 10 − 1 5 × 10 − 2 8 × 10 − 3 \begin{aligned} (368.258)_{10} 3 \times 10^2 6 \times 10^1 \\ \quad 8 \times 10^0 2 \times 10^{-1} 5 \times 10^{-2} 8 \times 10^{-3} \end{aligned}(368.258)10​​3×1026×1018×1002×10−15×10−28×10−3​十进制数人们最熟悉 但机器实现起来困难二进制数字符号0、1计数规则逢二进一基数2各位的权值为2 i 2^i2ii是各数位的序号算数运算规则加、减、乘、除二进制优点运算简单、物理实现容易、存储和传送方便、可靠。因为二进制中只有0和1两个数字符号可以用电子器件的两种不同状态来表示一位二进制数。例如用电平的高和低表示1和0等。所以在数字系统中普遍采用二进制。二进制的缺点数的位数太长且字符单调使得书写、记忆和阅读不方便。十六进制计数符号0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F计数规则逢十六进一基数R16位权16的整数次幂用途表示和记录二进制数(4位二进制表示1位十六进制)八进制数字符号012 34567计数规则逢八进一基数8权8 i 8^i8ii是各数位的序号三位二进制表示以为八进制1-1-2 数制转换二进制与十进制Binary to DecimalDecimal to Binary二进制与八进制Binary to OctalOctal to Binary二进制与十六进制Binary to HexadecimalHexadecimal to Binary1-2 带符号二进制数的表示标记一个数正负—“/-”(把二进制数的符号位和数值位一起编码可以得到机器码。)—首位作为符号位0—1—-n位机器码的格式:原码、反码、补码A 的原码A为正数符号位为0数值位为|A| (用自然二进制数表示)A为负数符号位为1数值位为|A| (用自然二进制数表示)简单易懂加减不方便表示范围− ( 2 n − 1 − 1 ) ( 2 n − 1 − 1 ) -(2^{n-1}-1)~(2^{n-1}-1)−(2n−1−1)(2n−1−1)A 的反码A为正数其反码与原码相同。A为负数 在A的原码的基础上符号位不变数值位[ x 1 x 2 ] 反 [ x 1 ] 反 [ x 2 ] 反 [x1x2]_反[x1]_反[x2]_反[x1x2]反​[x1]反​[x2]反​[ x 1 − x 2 ] 反 [ x 1 ] 反 [ − x 2 ] 反 [x1-x2]_反[x1]_反[-x2]_反[x1−x2]反​[x1]反​[−x2]反​符号位一起参加运算有进位加入运算结果最低位按位取反。表示范围− ( 2 n − 1 − 1 ) ( 2 n − 1 − 1 ) -(2^{n-1}-1)~(2^{n-1}-1)−(2n−1−1)(2n−1−1)A 的补码A为正数其补码与原码相同。A为负数在其反码基础上符号位不变数值位加1。原码取反加1[ x 1 x 2 ] 补 [ x 1 ] 补 [ x 2 ] 补 [x1x2]_补[x1]_补[x2]_补[x1x2]补​[x1]补​[x2]补​[ x 1 − x 2 ] 补 [ x 1 ] 补 [ − x 2 ] 补 [x1-x2]_补[x1]_补[-x2]_补[x1−x2]补​[x1]补​[−x2]补​符号位一起参加运算有进位应将进位丢掉表示范围− 2 n − 1 ( 2 n − 1 − 1 ) -2^{n-1}~(2^{n-1}-1)−2n−1(2n−1−1)1-3 编码数字系统电路用于处理二进制数字0和1。实际问题很少能直接基于二进制数字来描述。如何将二进制数字0、1与现实问题联系起来数字字母事件条件…1-3-1 BCDBinary Coded Decimal四位二进制表示十进制用四位二进制代码对十进制数字符号进行编码简称为二-十进制代码。常用 BCD 码8421BCD 码、5421BCD 码、2421BCD 码、余 3 码、余 3 循环码余三码000118421BCD码有权码0-9的8421BCD码与二进制数表示的0-9完全相同8421码中不允许出现10101111六种组合(因为没有十进制数字符号与其对应)。对应不了的不存在十进制数字符号的8421码与相应ASCII码的低四位相同这一特点有利于简化输入输出过程中BCD码与字符代码的转换。与十进制转换按位转换首位看作8有权码在二进制编码十进制BCD中每个二进制位被赋予一个固定权重的编码方式5421BCD码有权码首位看作5不具备单值性5421码中不允许出现01010111和1101~1111六种组合(为了与十进制数字符号一一对应)。2421BCD码有权码首位看作2不具备单值性2421码中不允许出现01011010六种组合(为了与十进制数字符号一一对应)自补码自补特性即按位取反可获得该数对9的补数的2421BCD码 a 反 ( 9 − a ) a_反(9-a)a反​(9−a)余3BCD码无权码 每个字符编码比相应的8421BCD码多3不允许出现00000010和11011111六种组合。无字符对应自补码对9自补a 反 ( 9 − a ) a_反(9-a)a反​(9−a)余3码相加有进位加3无进位减31-3-2 可靠性编码作用提高系统的可靠性为了减少或者发现代码在形成和传送过程中可能发生的错误格雷码特点任意两个相邻的数所对应的代码之间只有一位不同其余位都相同。奇偶校验码具有检错能力能发现奇数个代码位同时出错的情况“奇校验”时使校验位和信息位所组成的代码中含有奇数个1“偶校验”时使校验位和信息位所组成的代码中含有偶数个1汉明码循环冗余码1-3-3 字符编码数字系统中处理的信息除了数值信息之外还有字母、运算符号、标点符号以及其他特殊符号信息这些符号统称为字符。所有字符在数字系统中必须用二进制编码表示通常将其称为字符编码。字符——编码最常用的字符编码是美国信息交换标准码——ASCII码由于数字系统中实际是用一个字节表示一个字符所以使用ASCII码时通常在最左边增加一位奇偶校验位