泛函分析与偏微分方程（十五）： 紧算子与 Fredholm 择一定理

设E,F,GE,F,GE,F,G为 Banach 空间，L(E,F)L(E,F)L(E,F)表示从EEE到FFF的有界线性算子，BE={ u∈E:∥u∥≤1}B_E=\{u\in E:\|u\|\le1\}BE​={u∈E:∥u∥≤1}。本节主要是说：紧算子把有界集压成“几乎有限维”的集合，因此I−TI-TI−T保留许多有限维线性代数的性质。1 紧算子的定义定义若T∈L(E,F)T\in L(E,F)T∈L(E,F)且T(BE)T(B_E)T(BE​)在FFF中有紧闭包，则称TTT为紧算子，记T∈K(E,F)T\in K(E,F)T∈K(E,F)。也就是说，对任意有界列(un)⊂E(u_n)\subset E(un​)⊂E，列(Tun)(Tu_n)(Tun​)至少有一个强收敛子列。有限秩算子一定紧。若R(T)R(T)R(T)有限维，则T(BE)T(B_E)T(BE​)是有限维空间里的有界集，闭包紧；这里用的是有限维空间中 Heine–Borel 性质。例子 1（有限秩投影）在ℓ2\ell^2ℓ2中令PN(x1,x2,… )=(x1,…,xN,0,0,… ). P_N(x_1,x_2,\dots)=(x_1,\dots,x_N,0,0,\dots).PN​(x1​,x2​,…)=(x1​,…,xN​,0,0,…).则PNP_NPN​是有限秩算子，所以紧。例子 2（紧但非有限秩）令T:ℓ2→ℓ2T:\ell^2\to\ell^2T:ℓ2→ℓ2为Tx=(x1,x22,x33,… ). Tx=\left(x_1,\frac{x_2}{2},\frac{x_3}{3},\dots\right).Tx=(x1​,2x2​​,3x3​​,…).定义TNx=(x1,x2/2,…,xN/N,0,… )T_Nx=(x_1,x_2/2,\dots,x_N/N,0,\dots)TN​x=(x1​,x2​/2,…,xN​/N,0,…)。则TNT_NTN​有限秩，且∥T−TN∥L(ℓ2)=sup⁡nN1n=1N+1→0. \|T-T_N\|_{L(\ell^2)}=\sup_{nN}\frac1n=\frac1{N+1}\to0.∥T−TN​∥L(ℓ2)​=nNsup​n1​=N+11​→0.由有限秩算子的范数极限仍紧，TTT紧。但TTT的值域不是有限维，所以它不是有限秩。2K(E,F)K(E,F)K(E,F)是闭线性子空间定理 1（Brezis 6.1）K(E,F)K(E,F)K(E,F)是L(E,F)L(E,F)L(E,F)的闭线性子空间。证明线性性很直接。若S,TS,TS,T紧，则(S+T)(BE)⊂S(BE)+T(BE)(S+T)(B_E)\subset S(B_E)+T(B_E)(S+T)(BE​)⊂S(BE​)+T(BE​)，两个相对紧集之和仍相对紧，所以S+TS+TS+T紧；数乘也保持紧性。关键是闭性。设Tn∈K(E,F)T_n\in K(E,F)Tn​∈K(E,F)且∥Tn−T∥L(E,F)→0\|T_n-T\|_{L(E,F)}\to0∥Tn​−T∥L(E,F)​→0。要证TTT紧，只需证对任意ε0\varepsilon0ε0，T(BE)T(B_E)T(BE​)可由有限个半径为ε\varepsilonε的球覆盖。取nnn使∥Tn−T∥L(E,F)ε2. \|T_n-T\|_{L(E,F)}\frac{\varepsilon}{2}.∥Tn​−T∥L(E,F)​2ε​.因为TnT_nTn​紧，存在有限个fi∈Ff_i\in Ffi​∈F使Tn(BE)⊂⋃i=1mB(fi,ε2). T_n(B_E)\subset \bigcup_{i=1}^m B\left(f_i,\frac{\varepsilon}{2}\right).Tn​(BE​)⊂i=1⋃m​B(fi​,2ε​).若u∈BEu\in B_Eu∈BE​，取iii使∥Tnu−fi∥ε/2\|T_nu-f_i\|\varepsilon/2∥Tn​u−fi​∥ε/2，则∥Tu−fi∥≤∥Tu−Tnu∥+∥Tnu−fi∥ε. \|Tu-f_i\|\le \|Tu-T_nu\|+\|T_nu-f_i\|\varepsilon.∥Tu−fi​∥≤∥Tu−Tn​u∥+∥Tn​u−fi​∥ε.所以T(BE)T(B_E)T(BE​)有有限ε\varepsilonε-网，闭包紧，故TTT紧。证毕。推论有限秩算子的范数极限是紧算子。这条推论很常用：实际证明某个算子紧时，可以先把它截断成有限维，再证明截断误差趋于000。3 有限秩逼近与近似问题Brezis 提到一个重要问题：是否每个紧算子都是有限秩算子的范数极限？一般 Banach 空间中答案是否定的，这是 Banach–Grothendieck 近似问题。但有些空间答案为真，例如值域空间FFF是 Hilbert 空间时。若T∈K(E,F)T\in K(E,F)T∈K(E,F)且FFF是 Hilbert 空间，令K=T(BE)‾K=\overline{T(B_E)}K=T(BE​)​。给定