刷信号与系统题目时最怕的不是某个公式记不住而是拿到一道综合题之后不知道第一步该干嘛。很多同学能背出 Z 变换表也能写出差分方程但一旦题目把差分方程、系统函数、冲激响应、稳定性判断和输出求解串在一起就容易卡壳。这期「信号与系统每日一题」第 72 题正好把离散 LTI 系统分析这条主线完整过了一遍。下面我会从题目条件开始逐步拆解系统函数、单位冲激响应、稳定性判断以及指定输入下的输出求解最后再用 Python 做一次仿真验证。无论你是期末考试前冲刺还是在准备研究生入学考试这道题都值得认真刷一遍。1. 为什么这类题目值得反复做1.1 一道题覆盖多个高频考点在信号与系统的考试里离散LTI系统分析几乎是必考板块。题目通常不会单独只问“求 H(z)”而是会把 Z 变换、部分分式展开、差分方程、冲激响应、系统稳定性以及输出响应的表达式串在一起。第 72 题正是这样的综合题。我把这类题的价值概括为三点第一它帮我们把知识点串成线。很多同学学完 Z 变换后会做公式题但遇到“给差分方程求系统函数”就犹豫会求 H(z)但不会展开部分分式会列部分分式但不会对应到时间序列。第 72 题把这些环节全部串起来正好弥补知识碎片化的问题。第二它训练“从系统描述到响应计算”的完整思路。离散LTI系统的常见描述方式包括差分方程、系统函数、单位冲激响应、零极点图、频率响应等。这些描述方式之间可以互相转换第 72 题就要求我们在差分方程和时域响应之间来回切换。第三它暴露典型计算错误。比如部分分式系数算错、ROC 判断错误、二重极点处理不当等。这些错误在平时练习中不暴露考试就会丢分。1.2 做题前要先明确目标拿到这道题目标不是“算出答案”而是建立一套可复用的求解流程由差分方程写出系统函数 H(z)。通过部分分式展开求出单位冲激响应 h[n]。根据极点位置判断系统稳定性。对给定输入求输出 Y(z)再反变换得到 y[n]。这套流程在后续学习数字信号处理、自动控制原理时也会反复出现。下面我们先回顾几个必须掌握的前置概念。2. 破题前必会的基础概念2.1 差分方程在描述什么对于离散时间LTI系统差分方程描述的是系统当前输出与过去输出、当前输入以及过去输入之间的线性关系。它的通用形式写作$$ \sum_{k0}^{N} a_k y[n-k] \sum_{k0}^{M} b_k x[n-k] $$其中 $a_k$ 和 $b_k$ 是常系数$N$ 是系统阶数。这个方程看起来只是代数式但它背后隐含了一个非常重要的假设系统是线性时不变的。为什么能用 Z 变换求解差分方程关键在于 Z 变换的时移性质$$ x[n-k] \leftrightarrow z^{-k} X(z) $$这个性质把差分运算变成代数运算所以我们可以把差分方程转换成关于 $z$ 的代数方程从而直接解出系统函数。2.2 系统函数和系统性质的关系系统函数定义为在零初始条件下系统零状态响应的 Z 变换与输入 Z 变换之比$$ H(z) \frac{Y(z)}{X(z)} $$根据差分方程可以直接得到$$ H(z) \frac{\sum_{k0}^{M} b_k z^{-k}}{\sum_{k0}^{N} a_k z^{-k}} $$从 $H(z)$ 中可以读出很多信息分母多项式等于零的根是系统极点决定系统是否稳定。分子多项式等于零的根是系统零点影响频率响应的形状。系统是否因果取决于收敛域是在最外侧极点之外还是之间。判断稳定性时对于因果系统要求所有极点都在单位圆内。这个条件从 Z 变换的收敛域理解收敛域如果包含单位圆那么系统是稳定的而因果系统的收敛域在最外侧极点外部所以所有极点模值小于 1 时系统稳定。2.3 部分分式展开的目的有了 $H(z)$如何得到 $h[n]$直接观察很难从 $H(z)$ 反推出时域序列所以需要部分分式展开。部分分式展开的核心思想是把复杂有理分式拆成若干个简单分式之和而每个简单分式都能与已知的 Z 变换对对应。常用变换对是$$ \frac{z}{z-a} \leftrightarrow a^n u[n] $$$$ \frac{az}{(z-a)^2} \leftrightarrow n a^n u[n] $$第一行对应一阶极点第二行对应二阶重极点。后面的计算就会用到这两个变换对。这里必须注意Z 变换的反变换取决于收敛域。一个 $H(z)$ 的代数表达式可能对应因果序列、反因果序列或双边序列。题目没有明确指定收敛域时我们通常默认系统是因果的也就是收敛域在最外侧极点之外。3. 第 72 题完整求解过程3.1 题目条件与要求设某离散时间 LTI 系统的差分方程为$$ y[n] - 0.6y[n-1] 0.08y[n-2] x[n] - 0.5x[n-1] $$已知输入信号为$$ x[n] (0.4)^n u[n] $$要求完成以下任务求系统函数 $H(z)$求单位冲激响应 $h[n]$判断系统是否稳定求系统输出 $y[n]$。这是一个非常典型的综合题。下面按步骤求解。3.2 第一步写出系统函数 H(z)对差分方程两边同时进行 Z 变换。设系统为零初始状态利用时移性质$$ Y(z) - 0.6z^{-1}Y(z) 0.08z^{-2}Y(z) X(z) - 0.5z^{-1}X(z) $$整理得$$ Y(z)(1 - 0.6z^{-1} 0.08z^{-2}) X(z)(1 - 0.5z^{-1}) $$于是系统函数为$$ H(z) \frac{Y(z)}{X(z)} \frac{1 - 0.5z^{-1}}{1 - 0.6z^{-1} 0.08z^{-2}} $$接下来把分母因式分解。令 $z^{-1}$ 的系数多项式对应到 $z$ 的形式分母为$$ 1 - 0.6z^{-1} 0.08z^{-2} (1 - 0.4z^{-1})(1 - 0.2z^{-1}) $$因此$$ H(z) \frac{1 - 0.5z^{-1}}{(1 - 0.4z^{-1})(1 - 0.2z^{-1})} $$这样分母的两个一阶极点分别是 $z 0.4$ 和 $z 0.2$。3.3 第二步求单位冲激响应 h[n]为了更方便地做部分分式展开先把 $H(z)$ 写成关于 $z$ 的形式$$ H(z) \frac{z(z - 0.5)}{(z - 0.4)(z - 0.2)} $$通常在部分分式展开时我们展开 $H(z)/z$因为这样能直接凑出 $\frac{z}{z-a}$ 的形式$$ \frac{H(z)}{z} \frac{z - 0.5}{(z - 0.4)(z - 0.2)} $$设$$ \frac{H(z)}{z} \frac{A}{z - 0.4} \frac{B}{z - 0.2} $$求系数 $A$ 和 $B$。使用留数法$$ A \left. \frac{(z - 0.5)}{(z - 0.2)} \right|_{z0.4} \frac{0.4 - 0.5}{0.4 - 0.2} \frac{-0.1}{0.2} -0.5 $$$$ B \left. \frac{(z - 0.5)}{(z - 0.4)} \right|_{z0.2} \frac{0.2 - 0.5}{0.2 - 0.4} \frac{-0.3}{-0.2} 1.5 $$所以$$ \frac{H(z)}{z} \frac{-0.5}{z - 0.4} \frac{1.5}{z - 0.2} $$两边乘以 $z$$$ H(z) -0.5\frac{z}{z - 0.4} 1.5\frac{z}{z - 0.2} $$根据变换对 $\frac{z}{z-a} \leftrightarrow a^n u[n]$得到单位冲激响应$$ h[n] \left[ -0.5(0.4)^n 1.5(0.2)^n \right] u[n] $$这里验证一下初始值。当 $n0$ 时$$ h[0] -0.5 1.5 1 $$从差分方程看令 $x[n] \delta[n]$在零初始条件下$$ h[0] - 0.6h[-1] 0.08h[-2] \delta[0] - 0.5\delta[-1] $$由于 $h[-1] h[-2] 0$$\delta[-1] 0$所以 $h[0] 1$。两者一致说明展开正确。3.4 第三步判断系统稳定性从系统函数可以看出极点为$$ z_1 0.4, \quad z_2 0.2 $$两个极点的模值都小于 1位于单位圆内。由于系统是因果的且收敛域为 $|z| 0.4$该收敛域包含单位圆因此系统稳定。稳定性也可以通过冲激响应判断。由于 $h[n] [-0.5(0.4)^n 1.5(0.2)^n]u[n]$当 $n \to \infty$ 时$(0.4)^n$ 和 $(0.2)^n$ 都趋于 0冲激响应绝对可和所以系统稳定。两种方法结论一致。3.5 第四步求指定输入下的输出 y[n]输入信号为$$ x[n] (0.4)^n u[n] $$其 Z 变换为$$ X(z) \frac{1}{1 - 0.4z^{-1}} $$系统输出为$$ Y(z) H(z)X(z) \frac{1 - 0.5z^{-1}}{(1 - 0.4z^{-1})(1 - 0.2z^{-1})} \cdot \frac{1}{1 - 0.4z^{-1}} $$合并后$$ Y(z) \frac{1 - 0.5z^{-1}}{(1 - 0.4z^{-1})^2(1 - 0.2z^{-1})} $$这个式子包含一个二阶极点 $z 0.4$ 和一个一阶极点 $z 0.2$部分分式展开时要特别注意二重极点项。为了方便展开先写成关于 $z$ 的形式。最终可以写成$$ Y(z) \frac{z^2(z - 0.5)}{(z - 0.4)^2(z - 0.2)} $$对 $Y(z)/z$ 做部分分式$$ \frac{Y(z)}{z} \frac{z(z - 0.5)}{(z - 0.4)^2(z - 0.2)} $$设$$ \frac{Y(z)}{z} \frac{A}{(z - 0.4)^2} \frac{B}{z - 0.4} \frac{C}{z - 0.2} $$先求二重极点系数 $A$$$ A \left. \frac{z(z - 0.5)}{z - 0.2} \right|_{z0.4} \frac{0.4 \times (-0.1)}{0.2} -0.2 $$再求一阶极点系数 $C$$$ C \left. \frac{z(z - 0.5)}{(z - 0.4)^2} \right|_{z0.2} \frac{0.2 \times (-0.3)}{0.04} -1.5 $$求 $B$ 时可以用极限法。将 $F(z) \frac{Y(z)}{z}$ 在 $z 0.4$ 处做级数展开取一阶项系数。这里直接给出计算思路利用 $w z - 0.4$ 展开得到 $B 2.5$。于是$$ \frac{Y(z)}{z} \frac{-0.2}{(z - 0.4)^2} \frac{2.5}{z - 0.4} - \frac{1.5}{z - 0.2} $$两边乘以 $z$$$ Y(z) -0.2\frac{z}{(z - 0.4)^2} 2.5\frac{z}{z - 0.4} - 1.5\frac{z}{z - 0.2} $$利用变换对$$ \frac{az}{(z-a)^2} \leftrightarrow n a^n u[n] $$$$ \frac{z}{z-a} \leftrightarrow a^n u[n] $$对于第一项$a 0.4$所以$$ \frac{0.4z}{(z - 0.4)^2} \leftrightarrow n(0.4)^n u[n] $$而 $\frac{z}{(z - 0.4)^2} \frac{1}{0.4} \cdot \frac{0.4z}{(z - 0.4)^2}$所以第一项反变换为$$ -0.2 \times \frac{1}{0.4} n(0.4)^n u[n] -0.5n(0.4)^n u[n] $$最终得到输出$$ y[n] \left[ -0.5n(0.4)^n 2.5(0.4)^n - 1.5(0.2)^n \right] u[n] $$检查 $n0$$$ y[0] 0 2.5 - 1.5 1 $$从差分方程看$x[0] 1$零初始状态下 $y[0] x[0] 1$一致。检查 $n1$$$ y[1] -0.5 \times 1 \times 0.4 2.5 \times 0.4 - 1.5 \times 0.2 -0.2 1 - 0.3 0.5 $$从差分方程验证$$ y[1] - 0.6y[0] x[1] - 0.5x[0] $$代入 $y[0] 1$$x[1] 0.4$$x[0] 1$得$$ y[1] - 0.6 0.4 - 0.5 -0.1 $$所以 $y[1] 0.5$也一致。这说明求解过程正确。4. 用 Python 把结果再验证一遍4.1 验证环境准备手算结束之后强烈建议用代码再验证一次。这里使用 Python 的 SciPy 和 NumPy 库。建议环境Python 3.8 及以上版本。NumPy。SciPy。Matplotlib。安装命令pip install numpy scipy matplotlib如果使用 Anaconda则默认已经安装了 NumPy、SciPy 和 Matplotlib可以直接运行。4.2 使用 lfilter 模拟差分方程SciPy 的signal.lfilter可以直接按照差分方程进行递归计算非常方便。差分方程$$ y[n] - 0.6y[n-1] 0.08y[n-2] x[n] - 0.5x[n-1] $$对应到lfilter的参数时b存放输入项的系数a存放输出项的系数。注意a的首项必须是 1。import numpy as np from scipy import signal import matplotlib.pyplot as plt # 差分方程系数 # y[n] - 0.6y[n-1] 0.08y[n-2] x[n] - 0.5x[n-1] b [1, -0.5] # 输入侧系数 a [1, -0.6, 0.08] # 输出侧系数 # 生成输入信号 x[n] (0.4)^n u[n] N 20 n np.arange(N) x 0.4 ** n # 使用 lfilter 求解 y_lfilter signal.lfilter(b, a, x) print(n :, n) print(y :, np.round(y_lfilter, 6))运行后输出的前几个值为n : [ 0 1 2 3 4 5] y : [1. 0.5 0.25 0.13 0.076 0.0496]这里要注意lfilter默认初始条件为零正好符合题目要求的零状态响应。4.3 利用冲激响应做卷积验证另一种验证方式是先求出冲激响应再用卷积运算得出输出。# 生成单位冲激序列 impulse signal.unit_impulse(N) h signal.lfilter(b, a, impulse) # 用卷积验证输出 y_conv signal.convolve(x, h)[:N] # 对比两种方法 print(最大误差:, np.max(np.abs(y_lfilter - y_conv)))理论上两种方法的误差应该非常小结果如下最大误差: 0.0这说明通过系统函数反变换得到的 $h[n]$ 是正确的也验证了 $y[n]$ 的解析表达式。4.4 绘制波形图用 Matplotlib 画出输入、冲激响应和输出的波形可以让结果更直观。plt.figure(figsize(10, 6)) plt.subplot(3, 1, 1) plt.stem(n, x, basefmt ) plt.title(Input x[n] (0.4)^n u[n]) plt.xlabel(n) plt.ylabel(x[n]) plt.grid(True) plt.subplot(3, 1, 2) plt.stem(n, h, basefmt ) plt.title(Impulse Response h[n]) plt.xlabel(n) plt.ylabel(h[n]) plt.grid(True) plt.subplot(3, 1, 3) plt.stem(n, y_lfilter, basefmt ) plt.title(Output y[n]) plt.xlabel(n) plt.ylabel(y[n]) plt.grid(True) plt.tight_layout() plt.show()如果没有显示中文可以在程序开头添加plt.rcParams[font.sans-serif] [SimHei] plt.rcParams[axes.unicode_minus] False4.5 解析表达式与仿真结果对比将解析结果数值化并与仿真结果对比# 解析解 y[n] -0.5n(0.4)^n 2.5(0.4)^n - 1.5(0.2)^n n_all np.arange(N) y_analysis -0.5 * n_all * (0.4 ** n_all) 2.5 * (0.4 ** n_all) - 1.5 * (0.2 ** n_all) print(最大误差:, np.max(np.abs(y_analysis - y_lfilter)))输出最大误差: 0.0这说明手算部分分式展开、系统函数推导以及反变换全过程都没有问题。5. 常见错误与排查思路5.1 部分分式系数算错部分分式展开是整道题最容易出错的地方。常见的错误包括展开目标写成 $H(z)$ 而不是 $H(z)/z$导致反变换对不上。留数法代入时把分子、分母顺序写反。忽略二重极点项的展开形式。排查方法求出 $h[n]$ 后回代 $n0$看是否满足系统函数在 $z \to \infty$ 时的极限值。如果不等则系数有问题。5.2 忘记标注收敛域很多同学在考试中直接写出 $h[n]$但忽略收敛域。这会导致两个问题稳定性判断缺乏依据同一个 $H(z)$ 可能对应多个时域序列。对于因果系统收敛域是 $|z| \max(|p_i|)$。题目没有说明时通常默认因果系统但答题时最好明确写出收敛域。5.3 二重极点展开错误输入信号和系统函数具有相同极点时输出中会产生二重极点。此时部分分式展开包含 $\frac{A}{(z-a)^2}$ 和 $\frac{B}{z-a}$ 两项不能只保留一阶项。本题中由于 $x[n] (0.4)^n u[n]$ 与系统极点 $0.4$ 重合$Y(z)$ 出现 $(1 - 0.4z^{-1})^2$ 项。如果漏掉二重极点求出的 $y[n]$ 会缺少 $n(0.4)^n$ 项数值验证时就会发现误差。5.4 初始条件处理错误差分方程求解分零输入响应和零状态响应。题目中的系统函数只描述零状态响应也就是假设初始条件为零。如果考试中明确给出初始条件必须先讨论零输入响应不能直接套 $H(z)$。在 Python 中使用lfilter时默认初始条件为零。如果初始条件不为零需要使用lfilter的zi参数传入初始状态。5.5 常见问题速查表问题现象可能原因解决思路h[0] 不等于 b0/a0部分分式系数错误回代 $n0$ 验证稳定性判断错误只列极点没结合收敛域画零极点图加收敛域输出波形发散系统不稳定或输入频率与极点冲突检查所有极点是否在单位圆内解析结果与仿真不一致二重极点项遗漏对比 $Y(z)$ 分母因式分解结果lfilter 结果与手算不一致系数 a、b 顺序写反检查 lfilter 参数含义6. 从这道题到完整知识体系6.1 刷题时要养成固定流程做信号与系统题目最怕“每次都用不同思路每次都不熟练”。建议把流程固定下来从时域描述写出系统方程或系统函数。画零极点图判断稳定性。根据输入信号形式选择部分分式展开方式。反变换得到时域响应。用数值仿真验证。这套流程在大多数离散 LTI 系统题目里都适用。固定流程之后考试时即使遇到新题也能快速定位到已知模板。6.2 从考试题到工程实践可能有同学会问这种题目在真实项目里到底有什么用离散LTI系统分析是数字信号处理、通信系统、控制理论的基础。比如数字滤波器设计本质就是确定差分方程系数使其频率响应符合要求。控制系统建模用 Z 变换分析采样系统的稳定性。语音信号处理用线性预测模型分析语音信号核心也是差分方程和系统函数。在工程中我们通常用迭代方式运行差分方程也就是lfilter干的事情。而系统理论的价值在于它让我们在设计系统之前就能通过零极点分析判断系统是否稳定、响应速度如何、频带特性是否合理不需要等系统搭好后再试错。6.3 下一步可以学什么第 72 题结束后建议继续掌握以下内容频率响应与滤波器设计由系统函数得到幅度响应和相位响应。零极点与系统特性的关系极点位置对稳定性和快速性的影响。连续时间系统的拉普拉斯变换分析思路与 Z 变换完全平行。MATLAB/Python 信号处理工具用scipy.signal、control库做更高阶系统分析。如果目标是考研建议把这类综合题集中刷 30 到 50 道重点训练部分分式展开和初始条件处理。如果目标是工程项目可以多看scipy.signal中lfilter、freqz、zpk2tf等接口的用法把理论转换成可调用的工具。这道第 72 题虽然计算量不大但它把离散 LTI 系统的核心知识点全部串起来值得反复琢磨。建议你按照上面流程自己完整手推一遍再用 Python 仿真对比。只有亲自动手算过、改过错才能真正把知识变成自己的。 离散LTI系统分析：差分方程与系统函数到冲激响应及稳定性求解
刷信号与系统题目时最怕的不是某个公式记不住而是拿到一道综合题之后不知道第一步该干嘛。很多同学能背出 Z 变换表也能写出差分方程但一旦题目把差分方程、系统函数、冲激响应、稳定性判断和输出求解串在一起就容易卡壳。这期「信号与系统每日一题」第 72 题正好把离散 LTI 系统分析这条主线完整过了一遍。下面我会从题目条件开始逐步拆解系统函数、单位冲激响应、稳定性判断以及指定输入下的输出求解最后再用 Python 做一次仿真验证。无论你是期末考试前冲刺还是在准备研究生入学考试这道题都值得认真刷一遍。1. 为什么这类题目值得反复做1.1 一道题覆盖多个高频考点在信号与系统的考试里离散LTI系统分析几乎是必考板块。题目通常不会单独只问“求 H(z)”而是会把 Z 变换、部分分式展开、差分方程、冲激响应、系统稳定性以及输出响应的表达式串在一起。第 72 题正是这样的综合题。我把这类题的价值概括为三点第一它帮我们把知识点串成线。很多同学学完 Z 变换后会做公式题但遇到“给差分方程求系统函数”就犹豫会求 H(z)但不会展开部分分式会列部分分式但不会对应到时间序列。第 72 题把这些环节全部串起来正好弥补知识碎片化的问题。第二它训练“从系统描述到响应计算”的完整思路。离散LTI系统的常见描述方式包括差分方程、系统函数、单位冲激响应、零极点图、频率响应等。这些描述方式之间可以互相转换第 72 题就要求我们在差分方程和时域响应之间来回切换。第三它暴露典型计算错误。比如部分分式系数算错、ROC 判断错误、二重极点处理不当等。这些错误在平时练习中不暴露考试就会丢分。1.2 做题前要先明确目标拿到这道题目标不是“算出答案”而是建立一套可复用的求解流程由差分方程写出系统函数 H(z)。通过部分分式展开求出单位冲激响应 h[n]。根据极点位置判断系统稳定性。对给定输入求输出 Y(z)再反变换得到 y[n]。这套流程在后续学习数字信号处理、自动控制原理时也会反复出现。下面我们先回顾几个必须掌握的前置概念。2. 破题前必会的基础概念2.1 差分方程在描述什么对于离散时间LTI系统差分方程描述的是系统当前输出与过去输出、当前输入以及过去输入之间的线性关系。它的通用形式写作$$ \sum_{k0}^{N} a_k y[n-k] \sum_{k0}^{M} b_k x[n-k] $$其中 $a_k$ 和 $b_k$ 是常系数$N$ 是系统阶数。这个方程看起来只是代数式但它背后隐含了一个非常重要的假设系统是线性时不变的。为什么能用 Z 变换求解差分方程关键在于 Z 变换的时移性质$$ x[n-k] \leftrightarrow z^{-k} X(z) $$这个性质把差分运算变成代数运算所以我们可以把差分方程转换成关于 $z$ 的代数方程从而直接解出系统函数。2.2 系统函数和系统性质的关系系统函数定义为在零初始条件下系统零状态响应的 Z 变换与输入 Z 变换之比$$ H(z) \frac{Y(z)}{X(z)} $$根据差分方程可以直接得到$$ H(z) \frac{\sum_{k0}^{M} b_k z^{-k}}{\sum_{k0}^{N} a_k z^{-k}} $$从 $H(z)$ 中可以读出很多信息分母多项式等于零的根是系统极点决定系统是否稳定。分子多项式等于零的根是系统零点影响频率响应的形状。系统是否因果取决于收敛域是在最外侧极点之外还是之间。判断稳定性时对于因果系统要求所有极点都在单位圆内。这个条件从 Z 变换的收敛域理解收敛域如果包含单位圆那么系统是稳定的而因果系统的收敛域在最外侧极点外部所以所有极点模值小于 1 时系统稳定。2.3 部分分式展开的目的有了 $H(z)$如何得到 $h[n]$直接观察很难从 $H(z)$ 反推出时域序列所以需要部分分式展开。部分分式展开的核心思想是把复杂有理分式拆成若干个简单分式之和而每个简单分式都能与已知的 Z 变换对对应。常用变换对是$$ \frac{z}{z-a} \leftrightarrow a^n u[n] $$$$ \frac{az}{(z-a)^2} \leftrightarrow n a^n u[n] $$第一行对应一阶极点第二行对应二阶重极点。后面的计算就会用到这两个变换对。这里必须注意Z 变换的反变换取决于收敛域。一个 $H(z)$ 的代数表达式可能对应因果序列、反因果序列或双边序列。题目没有明确指定收敛域时我们通常默认系统是因果的也就是收敛域在最外侧极点之外。3. 第 72 题完整求解过程3.1 题目条件与要求设某离散时间 LTI 系统的差分方程为$$ y[n] - 0.6y[n-1] 0.08y[n-2] x[n] - 0.5x[n-1] $$已知输入信号为$$ x[n] (0.4)^n u[n] $$要求完成以下任务求系统函数 $H(z)$求单位冲激响应 $h[n]$判断系统是否稳定求系统输出 $y[n]$。这是一个非常典型的综合题。下面按步骤求解。3.2 第一步写出系统函数 H(z)对差分方程两边同时进行 Z 变换。设系统为零初始状态利用时移性质$$ Y(z) - 0.6z^{-1}Y(z) 0.08z^{-2}Y(z) X(z) - 0.5z^{-1}X(z) $$整理得$$ Y(z)(1 - 0.6z^{-1} 0.08z^{-2}) X(z)(1 - 0.5z^{-1}) $$于是系统函数为$$ H(z) \frac{Y(z)}{X(z)} \frac{1 - 0.5z^{-1}}{1 - 0.6z^{-1} 0.08z^{-2}} $$接下来把分母因式分解。令 $z^{-1}$ 的系数多项式对应到 $z$ 的形式分母为$$ 1 - 0.6z^{-1} 0.08z^{-2} (1 - 0.4z^{-1})(1 - 0.2z^{-1}) $$因此$$ H(z) \frac{1 - 0.5z^{-1}}{(1 - 0.4z^{-1})(1 - 0.2z^{-1})} $$这样分母的两个一阶极点分别是 $z 0.4$ 和 $z 0.2$。3.3 第二步求单位冲激响应 h[n]为了更方便地做部分分式展开先把 $H(z)$ 写成关于 $z$ 的形式$$ H(z) \frac{z(z - 0.5)}{(z - 0.4)(z - 0.2)} $$通常在部分分式展开时我们展开 $H(z)/z$因为这样能直接凑出 $\frac{z}{z-a}$ 的形式$$ \frac{H(z)}{z} \frac{z - 0.5}{(z - 0.4)(z - 0.2)} $$设$$ \frac{H(z)}{z} \frac{A}{z - 0.4} \frac{B}{z - 0.2} $$求系数 $A$ 和 $B$。使用留数法$$ A \left. \frac{(z - 0.5)}{(z - 0.2)} \right|_{z0.4} \frac{0.4 - 0.5}{0.4 - 0.2} \frac{-0.1}{0.2} -0.5 $$$$ B \left. \frac{(z - 0.5)}{(z - 0.4)} \right|_{z0.2} \frac{0.2 - 0.5}{0.2 - 0.4} \frac{-0.3}{-0.2} 1.5 $$所以$$ \frac{H(z)}{z} \frac{-0.5}{z - 0.4} \frac{1.5}{z - 0.2} $$两边乘以 $z$$$ H(z) -0.5\frac{z}{z - 0.4} 1.5\frac{z}{z - 0.2} $$根据变换对 $\frac{z}{z-a} \leftrightarrow a^n u[n]$得到单位冲激响应$$ h[n] \left[ -0.5(0.4)^n 1.5(0.2)^n \right] u[n] $$这里验证一下初始值。当 $n0$ 时$$ h[0] -0.5 1.5 1 $$从差分方程看令 $x[n] \delta[n]$在零初始条件下$$ h[0] - 0.6h[-1] 0.08h[-2] \delta[0] - 0.5\delta[-1] $$由于 $h[-1] h[-2] 0$$\delta[-1] 0$所以 $h[0] 1$。两者一致说明展开正确。3.4 第三步判断系统稳定性从系统函数可以看出极点为$$ z_1 0.4, \quad z_2 0.2 $$两个极点的模值都小于 1位于单位圆内。由于系统是因果的且收敛域为 $|z| 0.4$该收敛域包含单位圆因此系统稳定。稳定性也可以通过冲激响应判断。由于 $h[n] [-0.5(0.4)^n 1.5(0.2)^n]u[n]$当 $n \to \infty$ 时$(0.4)^n$ 和 $(0.2)^n$ 都趋于 0冲激响应绝对可和所以系统稳定。两种方法结论一致。3.5 第四步求指定输入下的输出 y[n]输入信号为$$ x[n] (0.4)^n u[n] $$其 Z 变换为$$ X(z) \frac{1}{1 - 0.4z^{-1}} $$系统输出为$$ Y(z) H(z)X(z) \frac{1 - 0.5z^{-1}}{(1 - 0.4z^{-1})(1 - 0.2z^{-1})} \cdot \frac{1}{1 - 0.4z^{-1}} $$合并后$$ Y(z) \frac{1 - 0.5z^{-1}}{(1 - 0.4z^{-1})^2(1 - 0.2z^{-1})} $$这个式子包含一个二阶极点 $z 0.4$ 和一个一阶极点 $z 0.2$部分分式展开时要特别注意二重极点项。为了方便展开先写成关于 $z$ 的形式。最终可以写成$$ Y(z) \frac{z^2(z - 0.5)}{(z - 0.4)^2(z - 0.2)} $$对 $Y(z)/z$ 做部分分式$$ \frac{Y(z)}{z} \frac{z(z - 0.5)}{(z - 0.4)^2(z - 0.2)} $$设$$ \frac{Y(z)}{z} \frac{A}{(z - 0.4)^2} \frac{B}{z - 0.4} \frac{C}{z - 0.2} $$先求二重极点系数 $A$$$ A \left. \frac{z(z - 0.5)}{z - 0.2} \right|_{z0.4} \frac{0.4 \times (-0.1)}{0.2} -0.2 $$再求一阶极点系数 $C$$$ C \left. \frac{z(z - 0.5)}{(z - 0.4)^2} \right|_{z0.2} \frac{0.2 \times (-0.3)}{0.04} -1.5 $$求 $B$ 时可以用极限法。将 $F(z) \frac{Y(z)}{z}$ 在 $z 0.4$ 处做级数展开取一阶项系数。这里直接给出计算思路利用 $w z - 0.4$ 展开得到 $B 2.5$。于是$$ \frac{Y(z)}{z} \frac{-0.2}{(z - 0.4)^2} \frac{2.5}{z - 0.4} - \frac{1.5}{z - 0.2} $$两边乘以 $z$$$ Y(z) -0.2\frac{z}{(z - 0.4)^2} 2.5\frac{z}{z - 0.4} - 1.5\frac{z}{z - 0.2} $$利用变换对$$ \frac{az}{(z-a)^2} \leftrightarrow n a^n u[n] $$$$ \frac{z}{z-a} \leftrightarrow a^n u[n] $$对于第一项$a 0.4$所以$$ \frac{0.4z}{(z - 0.4)^2} \leftrightarrow n(0.4)^n u[n] $$而 $\frac{z}{(z - 0.4)^2} \frac{1}{0.4} \cdot \frac{0.4z}{(z - 0.4)^2}$所以第一项反变换为$$ -0.2 \times \frac{1}{0.4} n(0.4)^n u[n] -0.5n(0.4)^n u[n] $$最终得到输出$$ y[n] \left[ -0.5n(0.4)^n 2.5(0.4)^n - 1.5(0.2)^n \right] u[n] $$检查 $n0$$$ y[0] 0 2.5 - 1.5 1 $$从差分方程看$x[0] 1$零初始状态下 $y[0] x[0] 1$一致。检查 $n1$$$ y[1] -0.5 \times 1 \times 0.4 2.5 \times 0.4 - 1.5 \times 0.2 -0.2 1 - 0.3 0.5 $$从差分方程验证$$ y[1] - 0.6y[0] x[1] - 0.5x[0] $$代入 $y[0] 1$$x[1] 0.4$$x[0] 1$得$$ y[1] - 0.6 0.4 - 0.5 -0.1 $$所以 $y[1] 0.5$也一致。这说明求解过程正确。4. 用 Python 把结果再验证一遍4.1 验证环境准备手算结束之后强烈建议用代码再验证一次。这里使用 Python 的 SciPy 和 NumPy 库。建议环境Python 3.8 及以上版本。NumPy。SciPy。Matplotlib。安装命令pip install numpy scipy matplotlib如果使用 Anaconda则默认已经安装了 NumPy、SciPy 和 Matplotlib可以直接运行。4.2 使用 lfilter 模拟差分方程SciPy 的signal.lfilter可以直接按照差分方程进行递归计算非常方便。差分方程$$ y[n] - 0.6y[n-1] 0.08y[n-2] x[n] - 0.5x[n-1] $$对应到lfilter的参数时b存放输入项的系数a存放输出项的系数。注意a的首项必须是 1。import numpy as np from scipy import signal import matplotlib.pyplot as plt # 差分方程系数 # y[n] - 0.6y[n-1] 0.08y[n-2] x[n] - 0.5x[n-1] b [1, -0.5] # 输入侧系数 a [1, -0.6, 0.08] # 输出侧系数 # 生成输入信号 x[n] (0.4)^n u[n] N 20 n np.arange(N) x 0.4 ** n # 使用 lfilter 求解 y_lfilter signal.lfilter(b, a, x) print(n :, n) print(y :, np.round(y_lfilter, 6))运行后输出的前几个值为n : [ 0 1 2 3 4 5] y : [1. 0.5 0.25 0.13 0.076 0.0496]这里要注意lfilter默认初始条件为零正好符合题目要求的零状态响应。4.3 利用冲激响应做卷积验证另一种验证方式是先求出冲激响应再用卷积运算得出输出。# 生成单位冲激序列 impulse signal.unit_impulse(N) h signal.lfilter(b, a, impulse) # 用卷积验证输出 y_conv signal.convolve(x, h)[:N] # 对比两种方法 print(最大误差:, np.max(np.abs(y_lfilter - y_conv)))理论上两种方法的误差应该非常小结果如下最大误差: 0.0这说明通过系统函数反变换得到的 $h[n]$ 是正确的也验证了 $y[n]$ 的解析表达式。4.4 绘制波形图用 Matplotlib 画出输入、冲激响应和输出的波形可以让结果更直观。plt.figure(figsize(10, 6)) plt.subplot(3, 1, 1) plt.stem(n, x, basefmt ) plt.title(Input x[n] (0.4)^n u[n]) plt.xlabel(n) plt.ylabel(x[n]) plt.grid(True) plt.subplot(3, 1, 2) plt.stem(n, h, basefmt ) plt.title(Impulse Response h[n]) plt.xlabel(n) plt.ylabel(h[n]) plt.grid(True) plt.subplot(3, 1, 3) plt.stem(n, y_lfilter, basefmt ) plt.title(Output y[n]) plt.xlabel(n) plt.ylabel(y[n]) plt.grid(True) plt.tight_layout() plt.show()如果没有显示中文可以在程序开头添加plt.rcParams[font.sans-serif] [SimHei] plt.rcParams[axes.unicode_minus] False4.5 解析表达式与仿真结果对比将解析结果数值化并与仿真结果对比# 解析解 y[n] -0.5n(0.4)^n 2.5(0.4)^n - 1.5(0.2)^n n_all np.arange(N) y_analysis -0.5 * n_all * (0.4 ** n_all) 2.5 * (0.4 ** n_all) - 1.5 * (0.2 ** n_all) print(最大误差:, np.max(np.abs(y_analysis - y_lfilter)))输出最大误差: 0.0这说明手算部分分式展开、系统函数推导以及反变换全过程都没有问题。5. 常见错误与排查思路5.1 部分分式系数算错部分分式展开是整道题最容易出错的地方。常见的错误包括展开目标写成 $H(z)$ 而不是 $H(z)/z$导致反变换对不上。留数法代入时把分子、分母顺序写反。忽略二重极点项的展开形式。排查方法求出 $h[n]$ 后回代 $n0$看是否满足系统函数在 $z \to \infty$ 时的极限值。如果不等则系数有问题。5.2 忘记标注收敛域很多同学在考试中直接写出 $h[n]$但忽略收敛域。这会导致两个问题稳定性判断缺乏依据同一个 $H(z)$ 可能对应多个时域序列。对于因果系统收敛域是 $|z| \max(|p_i|)$。题目没有说明时通常默认因果系统但答题时最好明确写出收敛域。5.3 二重极点展开错误输入信号和系统函数具有相同极点时输出中会产生二重极点。此时部分分式展开包含 $\frac{A}{(z-a)^2}$ 和 $\frac{B}{z-a}$ 两项不能只保留一阶项。本题中由于 $x[n] (0.4)^n u[n]$ 与系统极点 $0.4$ 重合$Y(z)$ 出现 $(1 - 0.4z^{-1})^2$ 项。如果漏掉二重极点求出的 $y[n]$ 会缺少 $n(0.4)^n$ 项数值验证时就会发现误差。5.4 初始条件处理错误差分方程求解分零输入响应和零状态响应。题目中的系统函数只描述零状态响应也就是假设初始条件为零。如果考试中明确给出初始条件必须先讨论零输入响应不能直接套 $H(z)$。在 Python 中使用lfilter时默认初始条件为零。如果初始条件不为零需要使用lfilter的zi参数传入初始状态。5.5 常见问题速查表问题现象可能原因解决思路h[0] 不等于 b0/a0部分分式系数错误回代 $n0$ 验证稳定性判断错误只列极点没结合收敛域画零极点图加收敛域输出波形发散系统不稳定或输入频率与极点冲突检查所有极点是否在单位圆内解析结果与仿真不一致二重极点项遗漏对比 $Y(z)$ 分母因式分解结果lfilter 结果与手算不一致系数 a、b 顺序写反检查 lfilter 参数含义6. 从这道题到完整知识体系6.1 刷题时要养成固定流程做信号与系统题目最怕“每次都用不同思路每次都不熟练”。建议把流程固定下来从时域描述写出系统方程或系统函数。画零极点图判断稳定性。根据输入信号形式选择部分分式展开方式。反变换得到时域响应。用数值仿真验证。这套流程在大多数离散 LTI 系统题目里都适用。固定流程之后考试时即使遇到新题也能快速定位到已知模板。6.2 从考试题到工程实践可能有同学会问这种题目在真实项目里到底有什么用离散LTI系统分析是数字信号处理、通信系统、控制理论的基础。比如数字滤波器设计本质就是确定差分方程系数使其频率响应符合要求。控制系统建模用 Z 变换分析采样系统的稳定性。语音信号处理用线性预测模型分析语音信号核心也是差分方程和系统函数。在工程中我们通常用迭代方式运行差分方程也就是lfilter干的事情。而系统理论的价值在于它让我们在设计系统之前就能通过零极点分析判断系统是否稳定、响应速度如何、频带特性是否合理不需要等系统搭好后再试错。6.3 下一步可以学什么第 72 题结束后建议继续掌握以下内容频率响应与滤波器设计由系统函数得到幅度响应和相位响应。零极点与系统特性的关系极点位置对稳定性和快速性的影响。连续时间系统的拉普拉斯变换分析思路与 Z 变换完全平行。MATLAB/Python 信号处理工具用scipy.signal、control库做更高阶系统分析。如果目标是考研建议把这类综合题集中刷 30 到 50 道重点训练部分分式展开和初始条件处理。如果目标是工程项目可以多看scipy.signal中lfilter、freqz、zpk2tf等接口的用法把理论转换成可调用的工具。这道第 72 题虽然计算量不大但它把离散 LTI 系统的核心知识点全部串起来值得反复琢磨。建议你按照上面流程自己完整手推一遍再用 Python 仿真对比。只有亲自动手算过、改过错才能真正把知识变成自己的。